摘要：分形市场假说（ＦＭＨ）是新兴金融学说前沿理论之一，也是重要的非线性科学理论和方法之一。首先阐述了ＦＭＨ和有效市场假说（ＥＭＨ）的起源和演化历程，然后在数理上证明二者具有内在统一性，最后大致梳理了ＦＭＨ发展趋势。研究发现，ＦＭＨ对ＥＭＨ并非是否定或颠覆，而是补充和完善，二者是一般与特殊的关系；ＦＭＨ为深刻认识和把握金融市场的非线性特征提供了新的视角和工具。本文的基础性工作有助于理清金融市场前沿理论的演化历程和相互关系，并为理论研究和实践应用提供指引。
关键词：分形市场假说；有效市场假说；非线性科学；内在统一性
        正确识别证券价格波动和风险演化规律是金融资产配置的基础和前提。有效市场假说（ＥｆｆｉｃｉｅｎｔＭａrｋｅｔＨｙｐｏｔｈｅｓｉｓ，ＥＭＨ）认为证券价格波动呈现随机游走（ＲａｎｄｏｍＷａｌｋ），收益率服从正态分布（ＮｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），风险可测且可控。此时金融市场呈现线性、连续、静态和独立等特征。
       随着计算机技术和金融物理学等交叉学科不断融合发展，学界对金融市场运行规律的认识也不断深入。证券收益率分布“尖峰肥尾”特征、市盈率效应（Ｐ／ＥＥｆｆｅｃｔ）等金融异象、高频发生的金融风险等，均表明金融市场可能具有非连续性、非线性、复杂性等特征。采用复杂范式分析社会科学领域中的复杂性问题及审视各学科之间的发展境况变得必要而且必须。^［１］分形市场假说（ＦｒａｃｔａｌＭａｒｋｅｔＨｙｐｏｔｈｅｓｉｓ，ＦＭＨ）由此产生，并对现代金融理论发展产生深远影响。
       ＦＭＨ产生后，在世界范围内掀起了一股重构金融市场分析框架的热潮。国内研究较多引用或转述国外既有成果，对若干基础性问题仍缺乏深入梳理和清晰辨析。比如，ＦＭＨ与ＥＭＨ之间的区别和联系有哪些，前者相比后者的先进性体现在哪些地方，针对ＦＭＨ的研究和应用处于哪个阶段，呈现哪些发展趋势，等等。本文尝试对此类问题给予回应。
一、理论分析
1、ＥＭＨ的起源与演化分析
      市场有效性研究源于Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ（１９００）的先驱性工作，他最早发现证券价格在投机市场中遵循随机游走。其后，Ｃｏｗｌｅｓ（１９３３）、Ｋｅｎｄａｌｌ（１９５３）、Ｃｏｏｔｎｅｒ（１９６４）等相继对此进行了拓展，Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９６５）则给出了最一般的数学解析形式。^［２］
      Ｆａｍａ是市场有效性研究的集大成者，也因此荣获２０１３年诺贝尔经济学奖。Ｆａｍａ（１９７０，２０１２）正式提出ＥＭＨ，并依据Ｒｏｂｅｒｔ（１９６７）设计的信息分类法，进一步将资本市场分为弱式、半强式和强式有效三个层次。^{［３－４］}在强式有效市场中，证券收益率序列在统计上不具有“记忆性”，投资者无法根据历史价格获取未来收益。
      ＥＭＨ基于严格的前提假设，描述了金融市场的标准理想状态，自产生后即成为新古典金融理论的基石。现代资产组合理论（ＭＰＴ）、资本资产定价模型（ＣＡＰＭ）、期权定价模型（ＯＰＭ）、套利定价模型（ＡＰＴ）等，都建立在ＥＭＨ基础上。
       但是，ＥＭＨ以市场的线性变化为基础，其遭受的质疑几乎与赢得的赞誉一样多。一方面，诸多市场异象从理论上对其科学性提出了严重挑战，另一方面，基本面分析与技术分析之间的分歧变得不可调和。诸如此类的问题，促使人们从根本上对其进行矫正，以使认识更加接近事实和真相。
２、ＦＭＨ的起源与演化分析
       ＦＭＨ的产生与两件事密不可分，一是金融物理学（Ｅｃｏｎｏｐｈｙｓｉｃｓ）等交叉学科的产生和兴起，二是Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在分形几何领域的开创性成就。^{［５－８］}
        Ｐｅｔｅｒｓ（１９９１，１９９４）首先提出ＦＭＨ。在ＦＭＨ中，证券价格属于分形布朗运动（ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎＭｏｔｉｏｎ），收益率服从分形分布（ＦｒａｃｔａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），具有自相似性（Ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ）和长期记忆性特征。^{［９－１０］}ＦＭＨ研究模式包括单分形（Ｍｏｎｏｆｒａｃｔａｌ）分析与多重分形（Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ）分析。有研究对ＦＭＨ的产生和发展及在国内研究现状进行了系统梳理，为将其应用于金融市场做了一定铺垫和准备。^［１１］此外，股票、债券、外汇、商品期货等资产价格的分形动力学（ＦｒａｃｔａｌＤｙｎａｍｉｃｓ）特征在国内外研究均获得了验证。［１０，１２－１４］
      分形理论以现实世界的粗糙和不规则为基础，ＦＭＨ则对资产价格的自相关性和自相似性给予了极大关注，均更加接近事物演化的客观规律。由于ＦＭＨ承认和尊重了市场的非线性变化，因此能够更好的在不同理论之间形成调和。
      国内对ＦＭＨ的研究始于２０世纪９０年代末。^{［１５－１６］}总体来看，国内研究目前呈现以下特点。其一，已指出ＥＭＨ与ＦＭＨ二者之间存在互补关系，但较少对微观机理做深入剖析，导致有时基本概念或检验方法的理解存在差异。其二，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６３）认为市场的分形结构与证券价格的剧烈和不连续波动有关，即证券价格波动具有诺亚效应（ＮｏａｈＥｆｆｅｃｔ）和约瑟夫效应（ＪｏｓｅｐｈＥｆｆｅｃｔ），但对更深层次原因分析采取了暂时搁置的态度。国内研究目前也多止步于此。其三，分形几何作为重要的非线性科学工具，其作用不仅在于深刻识别证券价格波动规律，更重要在于重新构造最优资产组合及进行风险管理。^［８］国外已有研究对此做了有益尝试和探索，但国仍处在模仿阶段。其四，虽然ＦＭＨ相对更接近市场现实情况，但与ＥＭＨ类似，仍缺少对市场参与主体的心理和行为特征及决策过程的关注。
3、ＥＭＨ与ＦＭＨ的交叉发展
      当实施新古典金融学和新兴金融学说对比分析时，有关ＥＭＨ与ＦＭＨ的异同从来都是绕不开的话题。^{［１７－１８］}虽然新古典金融学以金融市场的线性特性为基石，但金融市场的复杂性和非线性特征一刻也没有被忽视或遗忘。回溯金融理论在过去一个多世纪的发展历程，可发现以ＥＭＨ为代表的线性金融理论流派和以ＦＭＨ为代表的非线性金融理论流派之间从未泾渭分明，反而交叉融合共同发展，并在某些历史的拐角相遇。实际上，当具体到个人时，ＦＭＨ的先驱Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ既是数学家ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ的关门弟子，也是概率论专家Ｌ？ｖｙ的学生，而ＥＭＨ的创建者Ｆａｍａ又恰是Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ的学生。











图１经典金融理论代表人物谱系图
二、ＥＭＨ与ＦＭＨ的内在统一性分析
1、基于分布函数的统一性分析
      Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９６５）首次精确指出，ＥＭＨ下证券价格呈现随机游走，收益率服从正态分布，对应的特征函数可表示如下。^［２］
ｌｎ（ｋ）＝ｉμｋ－γ｜ｋ｜２ （１）
如果证券价格波动不连续且比较剧烈，对应的特征函数可用柯西分布（ＣａｕｃｈｙＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）函数来描述。
ｌｎ  （ｋ）＝ｉμｋ－γ｜ｋ｜   （２）
上述分布函数均要求有限方差。
针对证券价格波动的其他更一般情况，Ｌéｖｙ（１９３７）提出了更加具有一般意义的平稳列维分布
（ＳｔａｂｌｅＬéｖｙＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）函数，从而为ＦＭＨ的创建奠定了坚实的理论基础。^［１９］





依据式（３），对任意平稳过程Ｘ（α，β，γ，μ），各参数对应的情形如下。
（１）当α＝２时，式（３）约化式（１），列维分布约化为正态分布，此时，μ为均值，２γ为方差。当α≠２时，即为平稳非高斯分布（ＳｔａｂｌｅＮｏｎ－ＧａｕｓｓｉａｎＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）。
（２）当α＝１且β＝０时，式（３）约化为式（２），列维分布约化为柯西分布。
（３）当α∈（１，２）时，为帕累托－列维分布（Ｐａｒｅｔｏ－ＬéｖｙＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）。
可见，正态分布不过是列维分布的特殊情形之一，是收益率分布的偏态而非常态。
2、基于特征指数的统一性分析
     Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９７０，１９７１）首先将Ｈｕｒｓｔ（１９５１）提出的重标极差（Ｒ／Ｓ）分析法引入到金融市场分析中。^{［２０－２１］}对任意分形布朗运动Ｂ_Ｈ（ｔ），价格增量ＣＮ
间的相关性可表示如下。
ＣＮ＝２          –１    
           ２Ｈ－１          （４）
Ｈ即是Ｈｕｒｓｔ指数（ＨｕｒｓｔＥｘｐｏｎｅｎｔ）。
（１）Ｈ＝１／２时，ＣＮ＝０，Ｂ_Ｈ（ｔ）约化为布朗运动，表示价格增量随机且不相关。
（２）当１／２＜Ｈ＜１时，ＣＮ＞０，Ｂ_Ｈ（ｔ）约化为分形布朗运动，价格波动具有持久性和长期记忆性，也称惯性或动量效应。
（３）当０＜Ｈ＜１／２时，ＣＮ＜０，Ｂ_Ｈ（ｔ）仍然是分形布朗运动，价格波动具有反持久性，也称反转效应。
       可见，在特征指数方面，价格增量随机不相关仍然是特殊情况，是价格波动的特定状态而已。
       除了Ｈ指数，尚有其他刻画市场特征的指数，如分形维数（ＦｒａｃｔａｌＤｉｍｅｎｓｉｏｎ）Ｄ、稳定指数（ｓｔａｂｌｅｉｎｄｅｘ）α、分形差分参数（ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＰａｒａｍｅｔｅｒ）ζ和谱密度指数（ＰｏｗｅｒＳｐｅｃｔｒａｌＤｅｎｓｉｔｙ）η。Ｚｈａｏ＆Ｒｅｎ（１９９９）指出，上述指数与Ｈ指数之间具有如下关系：Ｄ＝２－Ｈ、α＝１／Ｈ、
       ξ＝Ｈ－０.５和η＝２Ｈ－１。^［２２］因此，这些指数在揭示ＥＭＨ与ＦＭＨ统一性方面的作用是等价的，不再赘述。
三、ＥＭＨ与ＦＭＨ的比较分析
       为更好展示ＥＭＨ与ＦＭＨ之间的区别和联系，使用一个简表罗列二者在各方面的特征（见表１）。虽然二者之间存在较多差异，但这些差异并非是严格对立的。内在统一性才是二者关系的本质特征。









表１ＥＭＨ与ＦＭＨ的区别与联系
      此外，Ｍａｎｔｅｇｎａ＆Ｓｔａｎｌｅｙ（２００６）从随机过程的有限性和稳定性两个维度对ＦＭＨ和ＥＭＨ之间的关系做了直观描述，但这种描述偏向数理方面，不易理解。^［７］为使二者之间的关系在非线性科学框架内更加清晰，本文尝试使用一个分形图来重新直观刻画二者之间的关系，具体方法如下：以任一半圆为始元（Ｉｎｉｔｉａｔｏｒ），每次取其直径的１／３和２／３“生成”两个半圆，依此递归（Ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ），最后得到一个类似于“法老的胸铠”的分形图（见图２）。分形图中各半圆区域分别代表不同的市场类型。由图可知，ＦＭＨ包含了ＥＭＨ，但二者又都隶属于非线性市场范畴。对其他空白区域，Ａ代表的是诸如混沌理论描述的市场，Ｂ代表的是诸如柯西分布函数描述的市场，Ｃ代表的则是弱式或半强式有效市场。






图２ＥＭＨ与ＦＭＨ关系图
四、ＦＭＨ演化趋势分析
       ＦＭＨ是新兴金融学领域最受关注的理论之一，也是发展最迅速的理论之一。ＦＭＨ自建立以后，首先对ＥＭＨ进行了修补和完善。比如，经典ＣＡＰＭ在计算系统性风险时，存在过度差分的问题，导致对系统性风险的识别度和解释度都较低。^［２３］因此，有研究尝试使用分形差分价格同价格之比代替传统收益率，然后代入ＣＡＰＭ方程拟合得到分形β系数，据此构建了分形ＣＡＰＭ（ＦＣＡＰＭ）。^［２４］另有研究使用广义收益率来拟合β系数，据此形成了标度可变ＣＡＰＭ（ＳＶ－ＣＡＰＭ）。^［２５］除了将ＦＭＨ应用于改进资产定价模型，也要研究尝试将其应用于风险监测和管理。^［２６］这些研究仍然是在新古典金融学分析框架内进行的，具有一定边际贡献。
        在ＦＭＨ分析框架下，价格波动的影响因素更多，内涵更加广泛。一方面，证券收益率分布的分形特征并不能完全归结于价格波动的随机性；另一方面，ＥＭＨ框架下某些外生变量———比如时间———将首次被内化。^{［７，２７］}时间不再是均匀的、无意义的，而是被纳入价格行为研究视野中。价格波动与时间息息相关，时间决定了价格行为对初始条件的敏感度和路径依赖，进而形成长期记忆和自相似性。可以预测，未来可能有更多外生变量———比如投资者行为或情绪———被纳入到该分析框架中，同时ＦＭＨ也会与其他非线性理论更紧密结合在一起。
       在ＦＭＨ分析方法方面，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在晚年强调，“重分形是对单分形的较好改进，能更好的评估风险、分析投资或防止破产”。^［８］但对市场重分形特征的刻画相对较难，仅有的一些测度方法———重分形波动率测度（ＭＦＶ）、重分形去趋势分析法（ＭＦ－ＤＦＡ）^［２８］、重分形去趋势互相关分析法（ＭＦ－ＤＣＣＡ）^［２９］等，虽然已在应用上获得了一些尝试，但暂时尚未获得学界一致认可。
       ＦＭＨ应用方面，微观建模仍是热点之一。Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９９７）首先在不同领域对此进行了尝试。^［３０］Ｃｏｎｔ＆Ｂｏｕｃｈａｕｄ（１９９８）构建了一个静态逾渗模型（ＰｅｒｃｏｌａｔｉｏｎＭｏｄｅｌ），指出投资者之间的相互模仿会导致羊群行为，进而指出羊群行为是产生证券收益率幂律（ＰｏｗｅｒＬａｗｓ）尾分布的原因。^［３１］这些研究对新兴市场有较好的解释能力，而且由于将行为金融学（ＢｅｈａｖｉｏｒａｌＦｉｎａｎｃｅ）的相关成果嫁接到分形市场分析中，对后续研究有较好的借鉴意义和启示作用。此外，采用诸如“地震级指数”（ＥａｒｔｈｑｕａｋｅＭａｇｎｉｔｕｄｅＩｎｄｅｘ）进行风险监控，或基于市场的非线性和复杂性揭示金融风暴形成的内生机理，或改进Ｂ－Ｓ模型对衍生品进行定价，或分析β系数的时变性特征等，都是新兴金融学研究中非常活跃的学科分支。［３２］
五、结语
       ＦＭＨ和ＥＭＨ是新兴金融学和新古典金融学的代表理论，分别刻画了市场的非线性和线性特征。从分布函数和特征指数两方面可以证明，分形市场是金融市场的一般形式和稳态，有效市场是金融市场的特殊形式和偏态，二者具有内在统一性。ＥＭＨ揭示了金融市场的理想状态，并为深刻认识金融市场运行特征提供了一个靶和锚。ＦＭＨ则在更一般意义上刻画了金融市场特征，它并非是对ＥＭＨ的否定或颠覆，而是对ＥＭＨ的完善和升华。
       ＦＭＨ一方面对ＥＭＨ进行了修正和完善，另一方面对金融投资分析框架进行了重构。正确认识和处理二者之间的关系，并发掘ＦＭＨ的理论和应用前景，既有利于非线性科学理论发展，也有利于指导金融投资实践。
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